Terme und Gleichungen

Rechengesetze

Kommutativgesetz (Vertauschungsgesetz)

Das Kommutativgesetz besagt, dass Summanden und Faktoren vertauscht werden dürfen. Das heißt, es gilt:

x + y = y + x
x • y = y • x

Das Gesetz gilt nicht für Division und Subtraktion:

x - y ≠ y - x
x : y ≠ y : x

Assoziativgesetz (Klammergesetz)

Das Assoziativgesetz besagt, dass Summanden und Faktoren einer beliebigen Reihenfolge berechnet werden dürfen. Dies macht man durch Klammern deutlich. Das heißt, es gilt:

(x + y) + z = x + (y + z) = x + y + z
(x • y) • z = x • (y • z) = x • y • z

Das Gesetz gilt nicht für Division und Subtraktion:

(x - y) - z ≠ x - (y - z)
(x : y) : z ≠ x : (y : z)

Distributivgesetz

Das Distributivgesetz ist eine Kombination aus dem Kommutativ- und dem Assoziativgesetz. Es gilt:

(x + y) • z = z • (x + y) = x • z + y • z
(x - y) • z = z • (x - y) = x • z - y • z

Das Gesetz gilt zwar auch für die Division, aber Achtung, es gilt weiter das Kommutativgesetz:

(x + y) : z = x : z + y : z ≠ z : (x + y)
(x - y) : z = x : z - y : z ≠ z : (x - y)

Gleichungen umstellen

Man kann die Terme einer Gleichung in der Summenschreibweise schreiben. Das heißt:

am Anfang der Gleichung oder unmittelbar nach dem Gleichheitszeichen
vor jedes Minus (durch ausklammern)

kann man ein + schreiben, um die einzelnen Summanden zu verdeutlichen.
Jetzt kann man auf die Summanden das Kommutativgesetz anwenden.

Grundsätzlich kann man sich Gleichungen wie obenstehendes Bild vorstellen. Zwei große Flecken und dazwischen ein Gleichheitszeichen. Wenn man jetzt mit dem roten Fleck operiert (etwas multipliziert, dividiert, addiert, subtrahiert, ...), so macht man das auch mit dem grünen Fleck auf der anderen Seite des Gleichheitszeichen.
Und zwar mit dem GANZEN Fleck!