Im Hasenstall vermehren sich Hasen schnell. Pro Jahr verdoppelt sich die Anzahl der Hasen.
D.h. im ersten Jahr sind es noch 2 Hasen. Diese bekommen 2 Kinder also sind es im 2. Jahr 2 • 2 = 4 Hasen.
Die 4 Hasen bekommen auch wieder Kinder. Also verdoppeln sich die 4 Hasen wieder.
2 • 2 • 2 = 8 Hasen
So geht es immer weiter...
2 • 2 • 2 • 2 = 16
2 • 2 • 2 • 2 = 32
...
Wie kann man dies vereinfacht schreiben ohne den Multiplikationsoperator?
Mit der Potenzschreibweise 23 kann man zum Beispiel die Anzahl der Hasen im 3. Jahr darstellen, wenn diese sich in jedem Jahr verdoppelt.
Es bedeutet nichts anderes, als 3 mal die 2 mit sich selbst zu multiplizieren.
Also: 2 • 2 • 2 = 8 Hasen insgesamt.
24 = 2 • 2 • 2 • 2 = 16
33 = 3 • 3 • 3 = 27
52 = 5 • 5 = 25
106 = 10 • 10 • 10 • 10 • 10 • 10 = 1 000 000
Angenommen wir haben zwei verschiedene Hasenställe:
Im ersten liegt eine Hasenpopulation von m Jahren. Diese soll um weitere n Jahre wachsen.
Also rein mathematisch haben wir dann 2m • 2n Hasen.
Diese Schreibweise kann man allerdings auch folgenderweise verkürzen:
2m • 2n = 2m + n
Solche Regeln nennen wir Potenzgesetze. Im Folgenden sind alle wichtigen Potenzgesetze aufgelistet.
Für alle m,n ∈ ℤ und a,b ∈ ℝ \ {0} gilt:
Sonderfälle (für n ∈ ℕ):
Phase I: Lies dir in deiner Expertengruppe das Potenzgesetz genau durch. Danach forme die Terme der Aufgabe 1 der
Regel entsprechend um. Überlege, wie du die Terme in Aufgabe 2 so vereinfachen kannst, dass sie sich möglichst leicht ausrechnen lassen. Berechne
das Ergebnis.
Denke dir selbst 5 Aufgabenbeispiele aus, in denen Terme umgeformt werden sollen.
Phase II: Erkläre deinen Mitschülern in der gemischten Gruppe dein Potenzgesetz. Rechne ein Beispiel aus den Aufgaben von Phase I vor.
Lass sie nun die Terme der Aufgabe 3 umformen und hilf ihnen dabei, falls sie Schwierigkeiten haben. Lass sie deine ausgedachten Aufgaben umformen.