Ein Quadrat besitzt die Fläche 25m2. Dieses Quadrat stellt ein Grundstück da, auf welchem Tom wohnt. Zu einem Grundstück gehört ebenso das anliegende Straßenstück, das die Länge einer Seite des Quadrats besitzt. Woher weiß Tom, wie lang das Straßenstück ist, das zu ihm gehört?
Mit Hilfe des Wurzeloperators √25m2 erhält Tom die Umkehrung der Potenz.
Das bedeutet: Wenn a2 = b ist, dann ist √b = a.
Also gilt: √25 = 5, da 52 = 25
Also besitzt das anliegende Straßenstück, wenn wir von einem quadratischen Grundstück ausgehen, die Länge
√25m2 = 5m.
Problem: "Aber (-5) • (-5) ist doch auch 25!? Müsste dann nicht √25 = -5 gelten?"
Deswegen definieren wir die sogenannte Quadratwurzel folgendermaßen:
Wenn a2 = a • a = b, dann gilt √b = |a| (Erinnere dich, was das Betragszeichen bedeutet!)
Es gibt allerdings nicht nur die Quadratwurzel. Zu jedem Exponenten beim Potenzieren gibt es einen dazugehörigen Wurzelexponenten:
an = b → n√b = a
gesprochen: "n-te Wurzel aus b ist a"
Bei der Quadratwurzel gilt n = 2. Da dies eine besondere Wurzel ist, die oft benutzt wird, hat man sich darauf geeinigt, dass man den Wurzelexponenten n bei der Quadratwurzel auch weglassen kann.
Also 2√25 = √25 = 5
2√16 = √16 = 4, da 4 • 4 = 16
2√169 = √169 = 13, da 13 • 13 = 169
2√81 = √81 = 9, da 9 • 9 = 81
5√32 = 2, da 25 = 32
3√27 = 3, da 33 = 27
7√10 000 000 = 10, da 107 = 10 000 000
Wie bei den Potenzen gibt es auch Gesetze zum Rechnen mit Wurzeln.
Solche Regeln nennen wir Potenzgesetze. Wir betrachten allerdings nur 2 Wurzelgesetze, die für uns von Bedeutung sind.
Für alle a,b ≥ 0 und n ≥ 2 gilt:
Sonderfälle: Für alle a,b ≥ 0 und n ≥ 2 gilt: