Ein Ereignis eines Zufallsexperiments mit Ergebnismenge Ω ist eine Teilmenge E von Ω.
bzw.: E ⊆ Ω
Eine Aussage darüber, wie ein Zufallsexperiment ausgeht, nennt man Ereignis.
Beim Würfeln mit einem (idealen) sechseitigen Würfel ist
Ω = {1,2,3,4,5,6}
Wir betrachten folgende Ereignisse:
Ereignis G := "Es fällt eine gerade Zahl."
Ereignis V := "Es fällt eine Zahl die größer als 4 ist."
Ereignis E := "Es fällt die Zahl 1."
Wobei G = {2,4,6}
V = {5,6}
E = {1}
Ein Ereignis besteht also aus beliebig vielen Ergebnissen aus der Ergebnismenge Ω. Demnach kann wie zum Beispiel E ein Ereignis auch aus einem einzelnen Ergebnis bestehen. Der Unterschied ist, dass Ereignisse Mengen sind und Ergebnisse einzelne elementare Werte. Allerdings kann ein Ereignis auch aus Ergebnissen bestehen, welche gar nicht auftreten können. Bei unserem Würfelwurf ist das zum Beipsiel:
S := "Es fällt die Zahl 7."
S = { }
Das nennt man die leere Menge. S besitzt kein Element aus Ω, da unser Würfel nur die Zahlen von 1 bis 6 besitzt. Deswegen ist die Menge leer.
Ein Ereignis A, welches alle Ergebnisse der Ergebnismenge enthält, nennt man
sicheres Ereignis, da die Wahrscheinlichkeit P(A) = 1 ist. A tritt also mit 100%iger Sicherheit ein.
Ein Ereignis B, welches kein Ergebnis der Ergebnismenge enthält, nennt man
unmögliches Ereignis, da die Wahrscheinlichkeit P(B) = 0 ist. B tritt also auf keinen Fall ein.
Das Ereignis A := "Es fällt eine einstellige natürliche Zahl." meint, dass eine natürliche Zahl zwischen 0 und 9 fällt. Da die Ergebnismenge aus den Zahlen von 1 bis 6 besteht, ist
A = {1,2,3,4,5,6} = Ω und damit P(A) = 1.
Das Ereignis B := "Es fällt keine einstellige natürliche Zahl." hat kein Ergebnis mit Ω gemeinsam, also ist
B = { } und damit P(B) = 0.
Wenn ein Ereignis B alle Elemente aus Ω besitzt, welche ein Ereignis A nicht besitzt, aber dafür B auch kein Element von A besitzt, dann nennt man
B das Gegenereignis von A
und
A das Gegenereignis von B
Man schreibt auch B für das Gegenereignis von B
und A für das Gegenereignis von A
Dabei gilt: P(B) = 1 - P(B)
bzw.
P(A) = 1 - P(A)
Das sichere Ereignis ist das Gegenereignis des unmöglichen Ereignisses und umgekehrt.
Das Gegenereignis von E := "Es fällt die Zahl 1." ist
E := "Es fällt eine Zahl von 2 bis 6."
E = {1}
E = {2,3,4,5,6}
Die Wahrscheinlichkeit des sicheren Ereignisses A ist P(A) = 1.
Die Wahrscheinlichkeit des unmöglichen Ereignisses B ist P(B) = 0
Da beide zueinander Gegenereignisse sind, muss gelten:
1 = P(A) = 1 - P(B) = 1 - 0 = 1 (korrekt)
0 = P(B) = 1 - P(A) = 1 - 1 = 0 (korrekt)