Beim Durchführen eines Zufallsexperiments tritt jedes Ergebnis x mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit auf.
Diese bezeichnen wir mit P(x).
P ist also eine Funktion, die jedem Ergebnis x eine Zahl von 0 bis 1 zuordnet.
0 meint dabei, dass ein Ergebnis nicht auftreten kann und
1 meint dabei, dass das Ergebnis immer auftritt.
Es gilt, je höher diese Zahl von 0 bis 1 ist, desto wahrscheinlicher ist es, dass das Ergebnis beim Durchführen des Zufallsexperiments auftritt.
Anstelle einer Zahl von 0 bis 1, kann man genauso die Wahrscheinlichkeit in Prozent aufschreiben.
Dabei gilt zum Beispiel:
Warum werfen wir eine Münze, wenn wir Entscheidungen durch Zufall entscheiden wollen? Weil wir davon ausgehen, dass sowohl das Ergebnis Kopf als auch Zahl eine Wahrscheinlichkeit von 50% besitzen. Es gibt also zwei Möglichkeiten mit, welche beide gleichwahrscheinlich und damit fair sind. Viele Entscheidungsfragen sind Ja-Nein-Fragen und damit eignet sich so ein Münzwurf perfekt.
Es gilt für den Münzwurf also:
Ω = {"Kopf", "Zahl"} mit
P("Kopf") = 0,5 = 50%
P("Zahl") = 0,5 = 50%
Rechnet man die Wahrscheinlichkeiten von jedem einzelnen Ergebnis eines Zufallsexperiments zusammen, erhält man 1 oder 100%.
P("Kopf") + P("Zahl") = 0,5 + 0,5 = 1
oder
P("Kopf") + P("Zahl") = 50% + 50% = 100%
Paul und Leon wollen wissen, wie oft sie beim Basketball aus einer gewissen Entfernung den Korb treffen und wie oft nicht. Deswegen machen sie folgendes:
Paul stellt sich mit dem Ball vor den Korb und wirft 5 mal. Leon stellt sich mit einem Zettel und einen Stift daneben und macht jedes mal, wenn Paul trifft einen Strich.
Es ergibt sich folgende Tabelle:
| Ergebnis | Anzahl |
|---|---|
| Treffer | 3 |
| kein Treffer | 2 |
Die absolute Häufigkeit beschreibt die genaue statistische Anzahl eines Ergebnisses einer Messung.
Die relative Häufigkeit beschreibt das Verhältnis der absoluten Häufigkeit eines Ergebnisses zu allen gemessenen Ergebnissen - also zum Ganzen.
Dabei gilt:
relative Häufigkeit (x) = absolute Häufigkeit (x) : Anzahl aller gemessenen Werte
Mit den eben genannten Werten ergeben sich folgende relative Häufigkeiten
(absolute Häufigkeit : 5)
| Ergebnis | abs. Häufigkeit | relative Häufigkeit |
|---|---|---|
| Treffer | 3 | 0,6 |
| kein Treffer | 2 | 0,4 |
Genauso wie bei den Wahrscheinlichkeiten kann man auch die relativen Häufigkeiten in Prozent angeben. Damit sähe unsere Tabelle dann so aus:
| Ergebnis | abs. Häufigkeit | relative Häufigkeit |
|---|---|---|
| Treffer | 3 | 60% |
| kein Treffer | 2 | 40% |
Jetzt will es Paul wissen. Wenn das ja stimmen sollte, dann ja auch bei 20 oder sogar 100 Würfen. Deswegen wirft er nun 100 statt nur 5 mal und Leon schreibt fleißig mit. Es ergibt sich folgende Tabelle:
| Ergebnis | abs. Häufigkeit | relative Häufigkeit |
|---|---|---|
| Treffer | 30 | 0,3 |
| kein Treffer | 70 | 0,7 |
Die Wahrscheinlichkeit eines Zufallsereignis lässt sich statistisch nur annähernd bestimmen. Je häufiger dabei ein Experiment durchgeführt wird und desto genauer ist die relative Häufigkeit als Wahrscheinlichkeit aufzufassen.
Das bedeutet, je mehr Werte wir haben, desto eher stimmt die relative Häufigkeit mit der tatsächlichen Wahrscheinlichkeit überein. Und es können nicht genug Werte sein. Je mehr, desto besser! Das gilt hier wirklich.
Also ist es tatsächlich Wahrscheinlicher, dass Paul den Korb bei ganz vielen Würfen verfehlt, als dass er ihn trifft. Schade!